主题:几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 (0) -- changshou

2012-02-18 09:13:02changshou
几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 (18)

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 (18)测地线

18.0 度量结构决定测地线

在时空洛仑兹流形确定后,度量结构就有了。12.1告诉我们可以考虑测地线。这样即使在闵可夫斯基时空不是好的近似的情况下,我们也能有精确的距离计算(算测地线长度)。

可是测地线长度和观察者未必有直接关系, 因为观察者的世界线 未必是测地线

18.1 自由运动的观察者的世界线 是测地线

自由运动 指的是不与其他物质发生作用(不受外力)。在牛顿力学中,第一定律说自由运动就是匀速直线运动。 狭义相对论中 假定惯性观察者的存在(惯性观察者间相对作匀速直线运动), 假定 自由运动的观察者 就是 惯性观察者。 然后用惯性参照系 定义 闵可夫斯基时空。广义相对论中 时空是洛仑兹流形。洛仑兹流形上一般而言没有直线,但有直线的直接推广 这就是测地线。 因此广义相对论中认为 自由运动的观察者的世界线 是时空中的测地线F。 这样当我们使用狭义相对论作局部近似时,自由运动的观察者的世界线 就自动退化为 闵可夫斯基时空中的直线(惯性观察者)。注意 在说外力时 我们不考虑引力了(因为我们已经在弯曲时空中,引力效应已经记入)。

至此 我们似乎做了一个假设:自由运动的观察者的世界线是测地线。然而 不要忘记广义相对论中 时空是会受其中运动的物质影响的。因此原则上讲 观察者的存在本身就会改变时空(一种直观的理解法是:只要有质量或能量,就会产生引力。 而引力就是时空弯曲,所以观察者自身产生的时空弯曲会对原有的弯曲时空产生干扰)。所以当我们使用测定线时,我们实际上是假设 观察者的影响很微弱可忽略不计。这看起来不是好事(使用了近似, 虽然通常已经是极精确的近似), 但实际上是好事。这意味着我们实际上可以从 爱因斯坦方程导出 自由运动的观察者的世界线是测地线。即我们可以先不忽略观察者的影响, 把观察者和时空中的其他物质放在一起研究。 然后让观察者自身的引力趋向于零,这时可以从数学上导出 自由运动的观察者的世界线 趋向于忽略观察者影响而得到的时空中的 测地线。这样广义相对论 抛弃了 牛顿力学和狭义相对论中 令人很不舒服的关于自由运动的先验假设。广义相对论有惊人的自给自足性。

由于我们以前还讲过(未必是自由运动的)观察者的世界线 应该是类时的。 所以结合起来说就是 自由运动的观察者的世界线 是类时测地线F

一般的时空洛仑兹流形中 类时测地线可以比较复杂,而且“时空是动力学的” 决定了没有什么给定的特殊的时空。 因此在广义相对论中把某一类 自由运动的观察者作为特殊的观察者是没有意义的。换言之 广义相对论中没有惯性观察者或惯性参照系。这其实也是广义协变性的要求。 如果有惯性参照系, 它们就是特殊的坐标系, 而广义协变性不允许特殊的坐标系F

18.2 自由运动的光(电磁波)的世界线 是类光测地线

这也可以由广义相对论导出,把电磁场理论改造得符合广义协变性后(17.5)就可以导出这一点(注意 改造后的理论从理论体系上讲, 是比经典的(闵可夫斯基时空中)电磁场理论更基本的理论,而不是反过来)。这一性质 在作狭义相对论局部近似时,自动退化为 闵可夫斯基时空中的情形。即狭义相对论中的光速不变原理 可由广义相对论框架中的电磁场理论导出。

18.3 举例:光的弯曲

一般的时空洛仑兹流形的类光测地线 不是闵可夫斯基时空的直线。如果一个物理学家不知道时空是弯曲的, 而用狭义相对论来描述光的运动,它就会发现 观测的情况和 假定光在平直的闵可夫斯基时空走(光锥上的)直线 是有偏差的(虽然可能很小)。于是他 就会以为不知怎么搞得 光被弯曲了。

反过来 我们可以用广义相对论 来计算光的世界线的“弯曲”(即对直线的偏离)。对这种计算的观测验证就是对广义相对论的实验检测。这件事已经在太阳系内做了,广义相对论得到了有力的支持F

18.4 举例:跳楼

地球的存在 导致了地球周边的时空弯曲。这里我们忽略其他的天体以及地球自转。于是地球周边的时空分布应具球对称性。这样一来 径向自由运动(在地球某条半径所在的直线上运动)形成的世界线就是测地线。

我从楼上跳下,忽略空气阻力。于是我不受外力(考虑弯曲时空就没有引力了), 自由地沿着测地线运动(所谓的下落)。我撞上了地面, 意味着我受到了地面物质的作用。 于是不能再自由运动(下落)了F

待续

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