主题：【原创】信 -- 明心灵竹

数学的有用性

问：现代数学会有重要的应用出口吗？

答：你说的是工程师，其实工程师不懂数学也行，只要会用计算软件即可。当时物理学家，化学家不懂数学不行，例如不懂群论，就不懂量子力学，不懂泛函分析，就不可能懂最优控制，变分，傅利叶分析，所以也就不可能懂规范场论。其实只要时对称的科学，例如量子力学，量子化学，都不可能离开群论。

现在物理学，例如凝聚态物理学，基本上代数几何和代数拓扑是标准配置或者说最低配置，搞宏观经济学，泛函分析+代数拓扑也是标准配置。

问：工程师有时候也需要数学基础，应用数学解决问题比较少，但实现算法要求能看懂。

答：要了解伽罗华理论，必须了解拉格朗日对代数方程的工作，而了解伽罗华理论，才能真正理解群，环，域是怎么来的，才能理解数学从计算变成研究结构这一步是怎么跨出来的，才算摸着现代数学的大门了。

传统数学到现代数学（从计算到结构）的关键一步就是伽罗华理论。

豆瓣不能贴数学公式，写这一部分，不能没公式（因为必须介绍代数方程求解的历史过程，才能看出群论的概念其实是水到渠成自然产生的），而word上的公式到豆瓣上，就会成为乱码，这个比较痛苦。

问：两者很多可以互相提供思路的东西，比方无和有（忙总已写），体和用（不同领域的数学有同构结构）

答：抽象的过程就是去除物质思想载体的过程，例如数学从线性代数的欧几里得空间抽象到拓扑空间等价与狭义相对论抽象到广义相对论，因为都把度量抽象掉了，只留下最本质的的东西。抽象代数从计算过程（因式分解或解方程都是一种计算过程）想抽象到只考虑结构与经典理学抽象到量子力学等价，都把计算过程抽象掉，只考虑结构特征。

抽象代数一个主要用途就是编码，一般是用多项式因式分解作为密钥（例如168阶的多项式，如果不知道密钥，可能的置换群是168！基本无法穷举的）。有兴趣建议看看系统所万哲先的《代数与编码》科普，万哲先是中国密码学派奠基人，我们密码技术不落后美国俄罗斯。

问：大学没有学数学真遗憾，看来数学学好了，是可以看清很多问题的。

答：不一定，主要还是看思维方式。毛主席的数学就很差，照样洞察力惊人。

数学三大问题：均衡、优化和突变

当年我刚到系统所时，喜欢跟老师们聊天（也都是科大数学系校友），讲自己的看到的和感受，讲一大堆后，几乎所有老师的必然问题是：你想说的本质问题是什么（或者你的问题本质特征或本征是什么）。对数学家来讲，所有问题都应该是抽象成本质的问题。他们认为，人类只能解决三类问题：均衡、优化和突变，离开这三类问题的问题，都无讨论价值。

实际上系统所的研究室设置也是按照解决这三类问题设置的，例如控制研究室主要解决均衡问题（稳定性，可控性等等）（这个研究室最著名的成就就是红旗系列地空导弹控制系统的理论模型和算法，反导系统控制系统的理论模型和算法，核武器反应堆控制系统的理论模型和算法等等）；运筹学研究室主要解决优化问题（资源最有配置，网络分工优化，能力调度等等）（这个研究室最著名的成果有全国铁路调度系统，国家资源配置系统，指挥自动化和电子对抗系统等等）；基础研究室主要解决突变问题（例如耗散结构，自组织等等）（这个研究室的成果除了一些复杂系统基础成果外，就是核潜艇通信系统，卫星通信系统，卫星侦察系统的算法和模型等等）。

凝聚态物理

对凝聚态物理我不熟，我只能从国家产业政策角度讲讲我了解的。

我们近十年在凝聚态物理上大量投资，目前形成清华，中国科大，南京大学三足鼎立局面（水平也是世界前茅），由于申请经费容易，现在有100多家小的追随。

国家投资凝聚态物理，基于产业升级方向判断。我们认为未来20年制造业的制高点是：新材料+超级计算机+海量存储设备+工业高速互联网支撑的智能制造（按订单精细设计+精密制造+表面组装）。

新材料突破的主要方向是高温氧化超导材料，纳米材料，超微结构材料等等。而这些正好是凝聚态物理目前的研究前沿：

1.表面人工纳米结构的构筑和原子尺度操控：绝缘体表面、磁性纳米结构、单分子操纵。

2.新材料的合成和研究：高温超导体、拓扑绝缘体、石墨烯、低维强关联体系。

3.极端条件下的仪器技术发展：时间 (fs)、空间 (sub-?ngstrom)、能量 (sub-ueV)、温度 (sub-mK) 、磁场 (>20T)、高频 (>500MHz)。

4.第一性原理计算和分子动力学模拟：强关联、激发态、弱相互作用、原子核量子效应、大体系。

5.工业技术应用相关：表面催化、太阳能电池、产氢和储氢、生物体系。

近年凝聚态物理的前沿似乎是相变。例如去年诺贝尔物理学奖就是拓扑相变。

相变有两个研究方向，一个是重整化（数学上重整化群是研究非线性相变的主要工具），包括场论和统计物理，甚至高分子材料都需要这个方向研究。第二个是拓扑相变，现在比较流行的是拓扑序研究，例如拓扑绝缘体的问题。相变是凝聚态物理的本质问题，因为不但超导超流是相变，在磁性材料里面还有更多相变问题，如果到了软物质体系（包括生物大分子如蛋白质、RNA、DNA、生物膜等等），无序系统（玻璃、胶体等等），也是相变。

顺便说一句，近40年，诺贝尔物理学奖50%以上都是凝聚态物理获得。90年代初，杨振宁建议中国加大凝聚态物理投入，利在当代，功在千秋。

群论的意义

问：我学过四大力学，但是没学过群论。

答：你学的可能是基于偏微分方程的普及版《量子力学》。真的量子力学，都是基于李群的，有兴趣，可以看看吴兆颜 的《高等量子力学》，这本书就是基于李代数来讲量子力学，你叫他《李群在量子力学中应用》也可以。

其实只要涉及量子力学里面的无穷小动量和角动量算符构造，就要李群。物理研究的一个核心不变量是对称性，外尔（Weyl）对对称性的定义是：对称性就是在某种变换下的不变性。

讨论变换就是在讨论群论。

不懂群论，是无法理解场论的。

布尔巴基的韦伊（André Weil）说过，“遇到困难，求助于所研究对象的自同构群。”

从数学角度看，每一个对称性对应一个守恒定律，例如空间位移对称造成动量守恒，而时间平移对称造成能量守恒。显然我们都知道，物理学的基础是几个守恒定律1，所以物理学对称性是现代物理学的核心概念，

对称性分规范对称性和整体对称性，从几何角度理解，就是系统的拉格朗日量或运动方程在某些变量的变化下的不变性。如果这些变量随时空变化，这个不变性被称为规范对称性，反之则被称为整体对称性。最简单的对称性例子是牛顿运动方程的伽利略变换不变性和麦克斯韦方程的洛伦兹变换不变性和相位不变性。

从代数上看，这些对称性可以由群论来表述，牛顿力学的群分别对应着伽利略群（一个十维对称群，包括在时间上的平移，在三维空间中任一维上的平移，在三条空间轴上任一条的（定角）旋转，或三维任一方向上的直线性洛伦兹变换），电动力学对应洛伦兹群和量子力学对应李群。对称群为连续群和分立群的情形分别被称为连续对称性和分立对称性。

杨振宁的最主要工作就是把规范对称性表达为一个理论的拉格朗日量的形式，并构造了核作用的规范理论。从此，规范对称性被大量应用于量子场论和粒子物理模型中。在粒子物理的标准模型中，强相互作用，弱相互作用和电磁相互作用的规范群。

现代数学认为：物理系统的每一个对称性都有相对的守恒定律。诺特定理（诺特是抽象代数领域一个开创性的人物，少有的女伟大数学家）就是概括这关系的重要定理。它指出物理系统包含的每一个对称性都代表此系统有某相对的物理量守恒。反过来说：物理系统有某守恒性质就代表它带其相对的对称性。

所以现代物理学，离开群论，基本没法工作了。

抽象代数创始人之一（环论创始人）埃米诺特发现了数学和理论物理的对称定理后，其实理论物理与数学就很难分家了。

诺特定理：对于每个局部作用下的可微对称性，存在一个对应的守恒流。

这里对称性是指物理定律在满足某种技术要求的一维李群作用下所满足的协变性。

物理量的守恒定律通常用连续性方程表达。

推论：

1、物理系统对于空间平移的不变性（物理定律不随着空间中的位置而变化）线性动量守恒；

2、转动的不变性角动量守恒；

3、时间平移的不变性能量守恒；

4、在量子场论中，诺特定理的等价定理是沃德-高桥恒等式(Ward-Takahashi)，可以从电势和向量势的规范不变性得出电荷守恒。

简单举例说，牛顿运动定律F=ma（矢量形式）在空间旋转变换下是不变的，把坐标轴旋转，虽然矢量的各个分量变了，但总的方程F=ma（矢量形式）是不变的，所以在牛顿力学当中，就存在着一个跟空间各向同性相对应的守恒量--角动量。时间均匀性跟能量守恒也是如此，由时间均匀性，也就是过去、现在、未来物理定律是一样的，由诺特定理可以得出存在这么一个守恒量--能量。

现在凝聚态物理最前沿的成果（例如文小刚搞的东西），我看就是微分几何+代数拓扑，已经没有什么物理味道了，完全是数学。