主题：我今天特别的高兴，在孩子快十岁时 -- 给我打钱87405

我们人似乎处在一个不可调和的巨大的旷日持久的矛盾当中。

那么，我想问一个问题：一支足球队，既有防守队员，又有进攻队员，对于防守任务而言，要求所有人把注意力集中在如何切断对方的进攻路线之上，而对于进攻任务而言，又要求把注意力集中在如何实现多点包抄，形成持续不断的进攻态势上。

如果，矛盾是无法调和的，请问，一支足球队是如何运转的？为什么我们没有见到“理当出现的”防守队员 和进攻队员互相争吵的情况？按“理”说，裁判的哨声一响，观众就应该开始等着看吵架了。

为什么我们在读“教室里安静得连掉下一根针的声音都能听得到”这个句子，一点都不会觉得矛盾呢？

为什么我们很喜欢虚实相间的人物照呢？

为什么有人高兴时会流下眼泪呢？而旁边者并不会觉得他是伤心呢？

要想清楚的回答这些问题，是有一定的困难的。至少，没有相关的成型的理论，大部分理论在谈及相关问题，多数是语焉不详的用“对立统一”四个字一笔带过。

我尝试着回答一下。

我认为，矛盾是对立还是统一，取决于态度和方法。

态度分两个分支，一为“只要享受，不愿劳动”、“只爱笑，不能哭”是不可取的，一为“想一劳永逸的得到稳定的平衡”是不可取的。

在古人来看，前面一个问题不叫问题，有高才有矮，有祸才有福，有丑才有美，有静才有动，二者是不可分割的关系，后面一个问题是难点。

这是有证据的。

因为我们看一下中国古代的各类艺术作品，以动衬静或以静衬动，以物衬人或以人衬物，以大衬小或以小衬大的技巧被应用得炉火纯青。

真正难以端正的态度是“总想一次性的解决平衡问题”，这似乎是一种难以抵抗的诱惑。就跟西方人对那个是否存在还是个未知数的万能公式着了迷一样。

孟子曰，鱼，我所欲也，熊掌亦我所欲也，二者不可得兼，舍鱼而取熊掌也。

这段广为人知的话该怎么去理解呢？

我认为，不可断章取义的来理解这段话，这段话并非是在谈平衡问题，而是在谈立场问题。在孟子的主张来看，义比生大，骄傲的死去比苟且偷生光荣。孟子，就像历史长河中的任何一名小人物那样，他的观点是有历史局限性的，他的主张是因为在那个时代“礼乐崩坏”。甚至 可以这么说，孟子就像是（事后来看）股市已经跌到谷底，他却四处奔走，大声呼叫：不能买入，还会再跌500点！

孟子不是个骗子，却是个学术不精的人。从他的人性本善也能看出来。在我来看，孔子要孟子清醒太多了，也要豁达许多。知错能改，善莫大焉。当不了官，就去教书。

回到主题上来。

实际上，不需要太多的教导，我们能很快的明白一个道理：没有一劳永逸的解决方案。

请注意：这里的关键是一次性。我们在讨论问题时，最容易掉进的一个陷阱就是一次性。而且我们在多数时候 是不自知的。

我们在不知不觉中，把一个连续性问题当成了一个又一个离散性问题。中国的古代哲人就此提出了一个策略：易。

为什么要易？因为总的来说，生活总是要继续的，没有一次性。一个一次性接一个一次性，并不总是1+1=2，而更多的是一种全新的结构，一个包含了部分又并非是简单的部分重复之后的整体。

这就好比三根棍子搭在一起，并非一定是一根更长的棍子，而是一个三角形。我们能说，三角形是三根棍子的总和吗？可是，我们不是明明看到，三角形是由三条边组成的吗？

或者这么来说：

单独一横，是没有意义的；单独一竖，也是没有意义的；一撇一捺仍然没有意义。但是如果把横竖瞥捺“拼装起来”，它就有无穷种意义。

做一道数学题，是没有意义的，读一篇诗歌，是没有意义的，跳一支舞，是没有意义的，炒一次菜，是没有意义的。或者说，它不是生活的意义，并非是生活的真正的意义。

我们在庐山里转圈，不易怎么行呢？横看成岭，侧成峰，这不就是一种易吗？

1+1=2，只是万千可能性当中的一个，如此而已。这，还需要证明吗？这是不证自明的道理啊。

因此，简略的说，当我们感受到矛盾不可调和时，是因为我们没有搞清楚，1+1既有可能等于2，还有可能不等于2。更多的可能是不等于2。所以，无理数的世界比有理数更大。

易，是一种态度。

持续性影响是一定会有的，但是结果却会有无穷种可能性。

这就好比说，今天的饭很好吃，于是我多吃了两碗，结果给吃撑了。

是“因为”今天的饭好吃，“所以”我吃撑了吗？

听起来很有道理。其实不然。

今天的饭好吃，并不意味着我一定会多吃两碗，我有可能和平时一样，也有可能多吃三碗。

还有，我今天吃顿饭之前的那一顿，没吃，尽管我比平时多吃 了两碗，不一定会撑着。

我撑着了，也不一定会感受到。

我撑着了，感受到了，不一定准确。

所以，就这么一个看似简单的问题，其实是个非常复杂的问题。我们压根 就不能说：因为今天的饭好吃，所以我吃撑了。头和尾没有因果关系，但有联系。

有联系，和有因果关系，是两个概念。所谓因果关系，就是如果A，必然会B。

1+1一定等于2吗？如果把角度考虑进去呢？

1+1=2，是默认角度为平角。没人告诉我们而已。

我们有太多的因素没有注意到。我们只看到了容易看到的那些部分，所以我们会有因果的想法。

或者说，我们其实在一个“程序”中，加了很多默认条件，但我们并不知道。

也许是一万个条件的“拼装”效果，但我们只看到了其中的 一个条件A，再加一个结果B，于是乎，A是B的因，B是A的果。

当我们发明了放大镜、显微镜、天文望远镜之后，我们看到了更多的存在，于是我们不再说A是B的因，B是A的果。

成功学是怎么回事呢？成功学就是这样一门“学问”：只说他愿意说的部分，推导出，只要……就会……这就是很常见的骗术啊。

我们人类之所以很想去找因果关系，是因为我们不愿意犯错误，我们对于错误感到恐惧。

错了就错了，死了就死了，这才是自然之道啊。

有一个词，经常被使用，叫有理有据。

这个用法，本身就代表了认知上的不全面。

说全了，是有理有据有节。核心在于有节。

因为有节，所以需要易。

有节，就是有使用范围，某种接近于因果关系的关系，它的本质是在某种特定情况下的产物。

1+1=2的适合范围在哪呢？默认角度 为平角。只要不是平角，1+1≠2。

对于人造物而言，我们有一定的办法做到如果A必然B，但对于自然物（包括人），我们就没有这种能力知道“如果ABCDEF……于是得到Z”。

这也就是在说，因果关系这种关系，它也是有节的。它的使用范围，就如同1+1=2的使用范围一样，非常小。

可能会有人提出质疑：照你这么说，粮食产量就是无法预测的了？实际上，我们是可以预测的啊。

那是因为自然环境的整体情况，在一般情况下，是稳定的。或者说，对于人这么有限的生命而言，我们感受到的是不变，是稳定。

实际上，大到太阳、月亮，小到昆虫、鸟兽，任意一个因素发生一个变化，粮食产量就有可能增加10%，也有可能减少50%。

所以才有那句话：尽人事，听天命。

如果我们预期得到一个所谓的必然结果，只能暗自祈祷：一切照旧。

正因为我们感受到的自然环境变化极慢，甚至 误认为是不变的，所以我们才会去想：有没有一劳永逸的解决方案呢？

正因为我们人类的寿命是如此短暂，所以我们才会产生这样的念头：管它今后如何，反正 我就活这么一辈子，快活了再说吧。

现在我们马上明白了，为什么会有人说生物学是个大坑。别说是研究生物学了，哪怕就是养只狗，种盆花，也是极不容易的事啊。

那么，教育学呢？

自然环境在变，社会环境在变，家庭环境在变，年龄在变，见识在变，思想在变，收入在变，支出在变，今天早上撒的尿射出去是2米，昨天是1.8米……可以说，一个人是无所不变，无时不变。

一个到处都在变的人，你怎么去找到因果关系？

怎么可能有一条必然的成功之路？

非要说有这种可能，那么就只可能在实验室里，培养出一个必然如何如何的人来。

我们更多的时候只知道，如果没有A，就一定没有B。

我们只知道，不劳动，是不会有收获 的。劳动了，会有多少收获，没有人能精确的知道。特别是在比较劳动量时，就更让人摸不着头脑了。为什么老宋只干半天活，就要比小李干到晚上8点得到的成果还要多呢？

劳动量和收获量，并非是一一对应的关系，二者之间并非是函数关系。尤其是对个体而言。

劳动量和收获量的关系，根本 就不是一斤白菜2元钱的关系。而是卖菜的老板用掷骰子的方法决定 某一次交易时，一斤白菜多少钱。老宋的结果是一斤20元，小李的结果是一斤0.01元。

这就是我们所说的，上帝在掷骰子。

如果有可能，我建议大伙去开一家这样的菜店，一个以掷骰子的方式来决定单次交易价格的菜店。

这可能是一个非常有趣的菜店，也许会爆满。

当然，你得准备好，有人会认为你在骰子里灌了铅。因为你的行为，在多数人来看，是极不科学的，不正常的，有病的。而你偏偏能吃能喝能睡，所以，你一定是干了某件见不得人的事。

于是乎，因果关系再次粉墨登场。

现在还有人想去这么做吗？

这就是薛定谔的那只猫。你不做永远不知道结果。你做了，却只知道其中一次的结果。

但是，我们可以知道另一件事，这是可以认为是有因果关系的。

如果菜店的老板，划了上下边界，比如最低为0.5元/斤，最高为2元/斤，又如果来买菜的人既不认为菜店老板是疯子，也不认为菜店老板在出千，那么可以料想，长期交易下去，对于菜店老板的收入而言，和以一个固定价来交易不会有任何区别。

那么，菜店老板有什么理由来这么做呢？这么做的理由就是可以吸引到一部分爱投机（或者说在投机中找点乐子）的人的青睐。

可是，对于当下社会的整体认知而言，菜店老板这么做，是无法接受的，或者说是不大接受的。但是，如果是（赌）石头，大家就认可了；如果是股票 ，大家就认可了；如果是房子，大家就认可了。

因为白菜不是用来投机的。这就是它的关键性条件。

有理有据有节。

以上，实际上就是在谈，谋求平衡的方法。

简要的说，取得平衡有两个要点：

1.局部是失衡的，所以有节，所以易。失衡的局部不一定能形成平衡的整体。但是，越是大的事物，越是有某种内在的平衡机制在掌控。

这是从空间来看。

从时间来看，另一个要点就是：

2.阶段性的来看，失衡是主题，长期的来看，平衡是某种机制下的产物。

用时间的观点来看，就是只能以阶段性的失衡换取长时间的平衡，这也就是“此一时、彼一时”。每个阶段都有它的侧重。以静衬动，动是主，静为次；以小衬大，小是辅，大是主。

阶段性的、局部的失衡不是必然能得到整体的平衡。但要取得整体的平衡，就需要阶段性、局部的失衡。

最后，我想说的是，对于人这种寿命极为短暂的生物而言，大范围的整体平衡机制我们是感受不到的。

我们只能通过 看历史才能感受到这一点，但它又和我们此生的命运走向无关。注意我刚刚说的“无关”，是指简单的因果关系，并非是指没有联系。

这就好比一名热爱生命的人，一生中会踩死无数只蚂蚁一样。踩死蚂蚁的人没有错，被踩死的蚂蚁也没有错，事情就是这样的。

你想得通也好，想不通也罢。事情就是这样。

加强自我保护确实很有必要。看到形势不妙马上撤退，这是一个很好的经验。要养成这样见势不妙拔腿就跑的本能。

不过问题解决也可以换个法子。比如说问题的关键其实不是乐队老师表扬她，而是乐团管理不喜欢她。这个问题解决了，大部分问题也就可以解决了。解决方法有两种，一种是团结一个小团伙一起嘲讽管理，一种是收买管理避免区别对待。基本上就和议会里对待内阁的法子是一样的，要不然就是议会不满弹劾内阁，要不然就是内阁直接解散议会……

见势不妙拔腿就跑是处于不利环境时要做的事情。不过有的时候情况可能不一样，比如抢功的时候，也会有人故意在结束之前挑事，目的就是要你走。所以做事的时候还有一个原则，就是能做好的事，不要做了一半离开，最后让别人摘桃子。这两个原则是相互抵触的，如果确定不了用哪个，那就跑，走为上。

众所周知，英语很在乎一个与多个之间的区别，但并不在乎一种与多种之间的区别，可是在另一种语言中，后者是关注的重点。

对于英语和汉语的使用者而言，这和那的区别是以说话人为参照点，以时间和空间上的远近关系来做区分。但在另一门语言中，事情就没有这么简单了，他们得说出绝对位置。

还有一种语言，在许多人看来是极为怪异的。在这门语言中，所描述 的事被分为五类：亲眼所见的、非亲眼所见的、显而易见的、间接的、猜测的。每一类都有对应的语法结构。令人十分好奇的是，为什么亲眼所见要比亲耳所闻更受重视？亲自所嗅、所尝、所摸呢？

那么，如果以语言学的角度来看数学，是不是说，因为数学总是在用关系来描述 数量，所以关系在数学中显得 特别醒目呢？

最典型的一个例子，就是描述一个连续量，数学的方法是用一个标准量为基准，度量所描述 的对象，得到一个值。

还记得前面那个关于位置的描述 在不同语言中所表现出的不同倾向性的例子吗？数学在描述 数量时，是用的相对，而不是绝对。

上面谈的都是语言的规律。可究竟什么是规律呢？是事物本来的面目，还是人类的看法呢——如果是后者，显然我们将它称之为在不同历史阶段、不同环境中有着不同的侧重更为恰当。

如果是后者，语言中的规律可能是这么一回事：首先有人提出了一个更优的解决方案，然后被广泛接纳。

也许正是因为这样，在过去，我们谈论数学时，说数学是一门研究数量关系的学问，而在今天，却更愿意说，数学是一门关于模型的学问。

难道不是这样吗？在今天，走进任何一个场所，我们听到人们的对话中，有非常多的内容是和套路、模式有关的。这是不是受工化业大生产的影响而产生的呢？

对于上面的这些问题，我们只能做小心的猜测，而不敢轻易做出断论。实际上，越是深入的去调查，越是感到茫然。

中国人的特点是务实，这一点最近一百年时常备受非议。

大清帝国的覆灭，似乎在是否注重科学研究与国力强盛之间建立了一种因果关系。然而走到今天，我们却有足够的理由质疑这一观点，即便二者之间有联系，却是可以肯定的说，它不是一种简单的因果关系。

这就好比我们如今能用技术手段去监测大脑皮层的活动，却始终无法解释言语是如何形成的，我们最多知道，有一些大脑受损的人突然之间有了外国口音。

一位挪威妇女在1941年大脑受损，幸运的是，她后来得以康复，嫁人生子。但在她身上却出现了一种无法解释的现象：她说话的音调变了，重音不再是挪威式的，而是德国式的。可是另一方面，她在恢复初期就已经能够唱歌，这说明她对音高的掌握是没有问题的。这一变化给她带来了很大的麻烦。要知道在20世纪40年代，一位操有德国口音的挪威人会被当地人视为叛徒、卖国贼。

这让我联想到老师和学生之间的关系。我们可能会想当然的认为，学生掌握某些知识，只需要经过A、B、C……便会得到Z这样的结果。可是我们稍微思考一下，就会想到，老师的生活阅历不是学生可以比拟的，并且我们几乎可以断定，这些生活阅历是理解知识必不可少的。

这个想法一浮现出来，就令人感到深深的不安。

因为教学很有可能是这样一种活动：在只知道条件A和B的情况下，就指望学生能达到目标Z，而对于条件C、D、E……我们甚至不知道它们的存在。

知其所以然这条路似乎不再是那么令人神往了，我们开始怀疑，这是一条不归路。也许，知其然才是正确的做法。

这又让我想起了另一句话（大意）：信仰就是当你趾高气昂时会扔到一边，走投无路时却拼命抓住的东西。

我现在意识到，人类社会中的一切都是时尚的。

大众教育也不过是最近几百年间的事。有一种可能是，学习风潮，是因为某一个人或者某一群人突然间开了窍，并取得了巨大的成果之后引发的“羊群效应”。

举个例子。

速度是对于物体快慢的描述。日常 生活经验告诉我们，如果两个人同时起跑，两个人之间的距离 越拉越大，那么前面那个人速度更快。这本质是在“看”路程。借助计时器，我们可以比较谁用最短的时间跑完100米。这本质是在“看”时间。

然而，当我们小时候接触到速度这个概念时，却无论如何不相信，速度是路程和时间的比值。

可是，我们依靠的是什么，在日常生活中将路程和时间转换成了速度？是环境。是一个“运动”的环境，让我们产生了快慢感。一旦这环境纸面化，我们就很难理解了。

同理，角度也是如此。当别人用“一个动作”向我们描述角度是什么时，我们很快就接受了，而一旦放到纸面上，在静态的环境中，要想清楚的描述出什么是角度时却变得异常困难，甚至无法马上说出“到底是如何看出角度的”。

类似这样的“虚体”概念不计其数，学习难度都很高。如果学生都敢于提问，也许老师就会感觉到课上不下去了。即便都提问了，课也还是上不下去。最后，只能“死背”。

我有一定的理由认为，人的学习模式分为两类：一类是“内化”，好比修改了DNA，内化的关键在于开悟，开悟了才能知其所以然；另一类是“外化”，好比学会使用一种工具，关键在于记牢要点，灵活运用。

我并不能用人类尚 短的历史推出，一会是内化为主，一会是外化为主，一会强调 知其所以然，一会强调 知其然。但有一点是可以肯定的，如果知其所以然一时之间走不下去了，就会转向知其然。说得再通俗一点，是依“结果”行事。

我其实想说的是，教育的成本极高，大众教育的投入远远不够。

我媳妇不止一次对我说，说我投入这么多去教孩子，担心 我会在高压之下变态。

我媳妇的态度，其实完全可以抛开母子情感来看，如果考虑到她曾经当过老师。

成材率低，导致多数人不愿意大量投入。

也算是人之常情。

这个不愿意大量投入，也有两层意义。

一层意义就是投入高，回报小，不划算。

另一层意义，就是担心，因为回报不如预期而过于失望，进而全面放弃。

有一些老师，恐怕就有这样的心路历程。

尽人事，听天命，这句话估计最合适送给老师。

在我来看，从古至今，人类社会对教育学的认知，整体处于一个较低水平。

在教育当中，有太多的“如果……就会……”

而实际情况是，我们只知道“如果不……就不会……”

学生的考分制、老师的考核制，都是基于“如果……就会……”建立的。

过于强调主观能动性，不尊重“对人的了解仍然处于低水平”这一个客观事实，是教育毁人的一大根本性原因。

正因为如此，考分制、考核制之下，多数人被迫钻空子，学习中的投机、舞弊行为屡禁不止。

老师猜题，算不算一种公开化的舞弊？

科举考试的“惨案”仍然历历在目，如今只不过是再一次复制。

发展到今天，欧美的孩子们举债读书已是常态，这和范进中举，有何区别？

我尤其憎恨成功学。

每当我看到讲述某位母亲、父亲、老师“教导有方”，孩子“成大器”的文章广为流传，就觉得无比难受。

我并不是说，这些文章没有价值，而是这类文章被曲解是大概率事件。

我最不开心的事，就是见到许多孩子因为成绩不佳，自暴自弃。所谓众口铄金，就是说你不行你行也不行。

这样的暴力行为，何时才能有个尽头呢？

有人问我，数学学了有什么用？

我说，没用，还徒增烦恼。比如说，胖这个概念就是个数学概念，因为胖只是在统计数值分布情况，并不关心人的各种需要。

但是如果你学了物理，就大不一样了。你会用密度来解释这个问题。同种物质，状态相同，密度相同。若你的身高与我的身高相同，你的腰围是2尺7，我的是3尺3，那么我的腰围就是你的1.2倍，我的体积就是你的1.44倍。因为你是人，我也是人，所以我俩的密度相同，所以我的体重理当是你的1.44倍。

1.角度好像是在说“开口的大小”，但是，“开口大小”到底指是的什么呢？

2.除了两线相交，还能从哪些地方感受到角度的存在？

3.两个大小不一样的轮子，为什么会让人觉得转得一样快呢？

4.用圆来研究角度

5.发现，角度越大，所对应的弧长越长

6.猜测，弧长越长，角度越大

7.半径不同的两个同心圆，弧长不同，角度相同

8.猜测，还有其它要素在影响角度

9.除了半径，好像没有别的了

10.发现，半径变长，弧长变长，角度不变

11.猜测角度和半径与弧长的关系，类似于差不变或商不变

12.排除差不变

13.半径不变，弧长越长，角度越大，弧长当分子

14.若角度=弧长/半径，那么半径变大n倍，弧长也应该变大n倍

15.无法测量弧长

16.用铁丝取出弧长

17.实验三次，初步判断，角度=弧长/半径

18.发现弦长可以直接测量

19.发现角度相同的情况下，弦长比=半径比

20.困惑：角度=弧长/半径，角度=弦长/半径，弧长/半径≠弦长/半径

21.梳理过程

22.发现，半径不变，弧长变大n倍，角度变大n倍

23.得到验证：角度=弧长/半径，角度≠弦长/半径。

24.难点：弧长的长度不易取得。

25.再思考，有没有其它要素没有考虑？

26.转半圈是什么意思？半指的是什么？

27.发现弧长/圆周长和角度有关

28.发现角度其实就是指以圆周长的几分之几

29.发现周长和半径之间有某种关系，因为角度即可以用弧长/半径来描述，也可以用弧长/圆周长来描述

30.圆周率可以理解为在描述平角吗？

31.发现角度=弧长/半径（弧长/圆周长）中的“=”并不是两边相等，而是在指代关系。否则 就和圆周率有了冲突。

32.给角度正名，弧度

33.如何将一个圆均分为360份？从分数加减法入手

34.有1/2和1/6，可以“制造”出1/3，缺1/5和1/9

35.圆周的1/5对应的是72°

36.构建等腰三角形，发现黄金分割比例，并得到正五边形

37.回忆1/5+1/5+1/10=1/2

38.无法得到1/9，用尺规作图取得最小的整数角为3°

39.反思：所谓1°角，就是取圆周的1/360，并无实际价值，但在走向通往白痴化的路上，顺手捡了许多宝贝，比如，找到了正五边形，黄金分割比例，证明了1/7、1/9、1/11、1/13是无法用尺规作图完成的。

40.总结：只有傻子才愿意学数学

附：1/5圆周可以不讲，这需要学习相似三角形、勾股定理、二次方程（初中内容）。弧度直接跳到了高中。

很好的观察。的确学习有这个区别，就是仅仅记住了的，和内化为自己的。但是，也有很多（或者无穷种）中间状态。这个驱动逐步内化的过程和机理，才是最有意思的事情。

比如我们平时讲话，不光是有言语（声音），还有表情、手势……这对我们互相理解有很大的帮助。有时候你会发现有人在打电话时也会有丰富的表情，实际上对方根本看不见，这是一种惯性使然。

这些要素合在一起，可以简称为环境。所以，或许可以这么说，纸面化之后相当于没有了“语境”，对于理解就造成了很大的困难。但是，在另一方面，当我们想脱离“语境”来描述一个事物时，却能从中发现许多平日里没有注意到的东西。举个例子，请你描写“走”这个动作，写出关键点就行，你会发现并不是那么容易，而且一开始会弄错一些东西。这就是指语言和思维的互相影响。

怎么说呢？语言是一种极简模型，创造语言的本质就是建模。我们都知道，模型是经过简化处理的，而怎么简化，其实是因地制宜、因时制宜的，所以有厚积薄发一说。我个人认为，语言有很大的改造空间，下一个阶段的主要任务非常有可能是再创语言（模型）。这个对于交流、学习帮助太大了，可以说得上是划时代的突破。但我只是个门外汉，再深入就谈不了啦。

《红楼梦》里有一副对联，叫“世事洞明皆学问，人情练达即文章”，这里的要点是“洞明”和“练达”。实际上，说“洞明”和“练达”很是夸张，但总的来说，把事情搞清楚了，话才能说得明白。

但是由于我们生下来，就开始学习现成的语言，难免会有“拿来主义”。比方说，你从小听人说，要好好学习，而这学习总是和课堂关联在一起的，你就有很可能认为只有在课堂里才进行学习。下课了，学习就结束了。

你不明白你为什么会被送进学校，当然，更多的可能是你没想过这件事。老师说，“同学们，我们现在开始学习”，于是，你又认为学习一定得有一个“实体”的老师，一群和你差不多年龄的人。

你从未听过有人跟你讲，学什么、怎么学和为什么学的问题。你对于学习二字的一切认知都来自于直接体验。我们的语言，就是如此精炼——精炼程度是如果要把学习二字展开来写，能写出来的内容可以摞出几十米高——稍不留神就会掉入陷阱。

突然有一天，你被告知，你需要做出一个选择，理科还是文科？你一下就懵掉了。这个，以前不是老师讲什么我就学什么吗？为什么现在要我来选？我又该如何选呢？理科到底是什么意思？文科又如何呢？有人告诉你，理科就是学数理化，文科就是学文哲史。现在你又掉入另一个陷阱。

如果我们现在做一点改变，这么来尝试一下：我在纸上写出我对学习的理解，对理科的理解、文科的理解。看一看我能不能说得清楚。会怎么样呢？

比如，你可能会写：学习就是每天按时上学，进了课堂听老师讲课，完成老师布置的作业。

你得到了什么呢？

没有回答。

所以你需要回答一下，你得到了什么。当你要去回答这个问题时，“问题”就来了。

比如，你可能会继续写：我得到了老师奖励的小红花。

这是不是就是在说，学习的目的就是为了得到小红花？好像有哪个地方很奇怪。

幼儿园不也有小红花吗？为什么我不能继续过幼儿园的生活呢？

我猜想一定有别的原因。现在我找到了一个错误，上学不是为了得到小红花。

这实际上，是一个自我改造的过程。

把事情写清楚，你就进步了。其实写不清楚，你也会进步。

我认为，可以把写日记这件事改良一下：给另一个不曾谋面的人写信。

你会发现，只用文字，要说清楚一切会有多么 的困难。可能你一开始收到的回信是这样的：老实说，我没看懂到底发生了什么，但我却能感觉到你的快乐。

或许你会认为是对方看不懂，等到你看对方的信时，你会发现你也看不懂。这下你就明白了，问题出在哪。

可以这样开始写作文吗？

我想象一下，有这么一篇：今天我去看了一场电影，IMAX，棒极了。

然后我收到的回信是：IMAX？好看吗？

我很奇怪，我不是都说了“棒极了”吗？为什么他会问“好看吗？”我不知道该如何回信。我想了半天，回了一句：好看。

马上，我又收到一封回信：我跑了一圈，也没见到有IMAX上映啊？是中国的还是美国的还日本的？

我更加困惑了，他到底在说什么呢？怎么我完全听不懂呢？于是，我回道：你到底想问什么？

回信是：我想知道IMAX这部电影的一些具体情况。

OMG，天呐……我快要崩溃了，我是在跟一个白痴说话吗？

于是我迅速写出了下面的内容：IMAX不是一部电影，而是一家电影院……哦，不对，它不是一家电影院，它是一个电影放映厅……哦，还是不对，我发现我不知道该如何去说IMAX……我只能这么告诉你，我去的那家电影院，只有一个厅能放IMAX，价钱比别的厅要高一些……我想起来了，每次进IMAX厅，电影开始前，都会说“这不是在看电影而是在享受”。NO，它的原话不是这样的，我实在想不起来了。这么说吧，IMAX厅要贵一些，电影效果要好一些。我得承认，我不知道什么是IMAX。

这样，就很好了。

每一次，你发现自己说不清楚时，你就进步了。你可能还是不知道该怎么说，但是你会发现自己原来是不懂的。我以为，这就足够了。

或许可以说，在小学末期这么来讲角，有些超前，毕竟教材的整体进度摆在那。

也许用另一种直观感受来讲角，比较适合小学生。

用俗话来说，看角大小就是在判断谁更尖，谁更钝，实际上是判断a/h。这个里面最不容易解决的问题，就是很容易误把a/h当成弧长/圆周长。

其实，不论是先看“头”还是先看“尾”，也就是先学圆，还是先学三角，都会遇到一定的困难。

也许在初期阶段，既看头，也看尾，在将来就容易把三角形和圆结合起来了。

不管怎么说，角是一个很有趣的东西，即便研究“怎么讲”，也是乐趣无穷的。

看头，看到了圆，看尾，看到了三角，最终二者在三角函数胜利会师。从某个角度看，小学到高中当中有一半内容都是在为这次会师做准备。

换句话说，要把角“讲清楚”的这个任务给完成了，需要学习很多内容。

又或者说，在完成这个任务的过程中，有了许多意想不到的收获。

而到底是哪种感受，取决于你是看头还是看尾。

稍微理一下，这一路上的几个“景点”：比（分数）、相似、圆和三角、无理数、（二次）函数、直角坐标系、三角函数（周期）。

“附近”的景点很多，比如从“比”到“公约数”到“质数和合数”，这个景点叫数论，去的游客比较少。

还有一些自助型娱乐项目，比如证明勾股定理。

当然，最大的收获是发现了一个巨大的惊人景观：微积分。

有关公司正在抓紧开发新项目，有一些旧的景点经过改造之后，以一种全新的姿态呈现在游客面前，比如，从“比”到概率。

我们也可以换个角度来看这个问题：从“比”这个根开始，长出参天大树，枝繁叶茂，每一根枝条，每一片叶子，每一个果实，都不一样。蔚为壮观。

还是从旅游线路来看吧。我个人更愿意当一名导游，数学这个王国，很大很大，我并不赞同进行自助游，至少头一两次不行。我主要考虑的是，如何设计出一些精品旅游路线，既让游客大饱眼福，又令游客将来有可能去自助游。

已知9元买2l水，问，27元可以买几升水

9元：2l

27/9=3 ，2*3=6l

这个思路它当然是对的。

本质是在用商不变原理。

但是对于另一种思路，27*（2/9)，许多学生就不理解了。

这个不理解的关键在于“对关系的形式和内容，认知不到位”。

9元买2l，即可以表述为9/2，也可以表述为2/9，不论是哪种表述，所表述的关系并没有变。

表述成9/2，本质是表述成(9/2)/1，指多少元匹配1l水；

表述成2/9，本质是表述成（2/9)/1，指多少l匹配1元。

用27*2/9，本质是在说，既然1元可以买2/9l，那么27元就是1元的27倍（无需繁复计算），所以如此如此。

在这里2/9和9/2根本不是几分之几的意思。

对于这个关系的认知，如果不到位，后面的数学、物理、化学中的各种关系式（公式）都是理解不了的。

这就好比弧度=弧长/半径，它是在描述关系；

而圆周长/半径（即圆周率），它是在描述“几分之几”、“倍数”；

此pai非彼pai。

以上所述跟“=”有相关的。

在关系式中，“=”并无太多的意义，

“=”更多的意义是表述出一个完整的关系式来。

也就是说，如果要用中文来讲，就得说成：

角跟弧长和半径的关系是：

1.当弧长不变时，半径越大，角就越小；

2.当半径 不变时，弧长越大，角就越大；

3.当弧长和半径 同时放大或缩小时，角可能不变，也有可能变。只有当弧长跟半径 同时放大或缩小n倍时， 角才不变。

正因为这一系列关系，跟除法的性质是一样的，所以借用了除式来表述这一关系。

同理，矩形面积公式也是在表述面积与边长的关系，

而并非是面积是边长的几倍。

那么，为什么面积可以比大小呢？既然是关系，又如何比大小呢？

比如，一个矩形是3*5，另一个矩形是4*4，

为什么算出来一个15，一个是16，就说16这个矩形的面积更大呢？

这是因为15的本质是15*1，相当于用计算把3*5的矩形变成了15*1的矩形，用计算把4*4的矩形变成了16*1的矩形，当然就是后面这个矩形面积大喽。

本质是通过 比边长（另一边相等）来比面积的。

所以，我们并不能比“关系”的大小，

而是把关系当成桥梁，将对比的两个事物进行转换，转换成了有办法直接比的两个事物。

这就是数学里的一个重要思维：

将不熟悉的、没办法直接处理的问题，转换成熟悉的、有办法处理的。

对于连续量的表述，用的是这个思维——将连续量转换成离散量，

小数运算，用的是这个思维——将小数转换成整数，

案例太多了……无所不在。

所以总是先找关系，后计算。

找关系又涉及到两类具体问题：

一类是知道起点，知道关系，找终点；

一类是知道起点和终点，把关系找出来。

比如3/5=x/5*4

x=3*4

这是前一种。

后一种呢？

3/5=y/30

那么30/5=6（先找关系），然后从起点摸到终点，所以有y=3*6=18

这是两大基本套路。

后一种当然就难了。这个后一种，本质就是找出“所以然”。

现在越来越有这种体会，站的高了看，才能一览众山小，过于纠结，徒生烦恼。

我现在理解角度为内积空间某两个元素的位置关系的度量

这正是我在努力教会孩子的：人，不能活在记忆当中。

有一种很流行的说法：初恋是最美好的。这句话，只说了一半，漏掉了最关键的两个字，“记忆”，完整的说法是：初恋是最美好的记忆。

记忆这个东西，是十分不靠谱的，否则 还需要发明什么文字 呢？

我，第一次吃包子时，觉得包子美味无比，甚至 觉得就这样一辈子吃下去就是一种幸福。哪知道我才连吃三天，我就觉得包子没有那么好吃的，又吃了几天，根本就是看到包子就反胃了。

包子的味道变了吗？没有。是我的鉴赏能力提高了。

恋爱 来说，不也是如此吗？第一次牵手，第一次亲吻，都觉得美妙无比，心跳加速。第一百次牵手，第一百次亲吻，就是在例行公事了。因为包子还是那个包子，而我，却变了。

活在记忆中，而看不到自己的变化，这是一种悲剧。