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主题：几何学的故事(1) - 古希腊的成就：欧氏几何 -- earthcolor
家园 几何学的故事(1) - 古希腊的成就：欧氏几何 在日常生活中，我们可以接触到各种物体，看到各种形状：三角形、方形、圆和直线。现在连小孩子都知道这些概念。这些都是几何学的研究内容，但在生活中，我们不一定会把这些和几何学联系起来，因为几何已经进入了我们的潜意识，我们都认为这些是当然的。而对这些几何概念的科学思考，带来了一次次的几何学的革命。
古希腊的成就：欧氏几何
最初的几何概念，来源于生活。自从人类有了意识，人类所接触的物体，都为我们提供了这些概念的来源。尤其是古代的经济活动，包括土地的丈量（用来决定税收，古代是根据土地的大小来纳税的），各类房屋的建造，各类物品工具的制造，使得人们有了几何概念的基本雏形。对于几何概念的科学，可以追溯到古希腊文明。泰勒斯，比达格拉斯的老师，被誉为世界上第一个科学家和数学家，对当时从经验得来的事实进行了理论解释，朝几何学的系统化迈出了第一步。他研究了图形全等、图形相似的概念，将实际的经验概括为抽象的原理，使得原来的经验，可以有更广阔的应用。他还提出了一个逻辑推理系统。而物理空间的提出，成为以后几何研究的一个重要内容。
比达格拉斯，研究了平方数、三角形数。更重要的一个发现是比达格拉斯定理，也就是中国古代的勾股定理：直角三角形的两个直边长度的平方和，等于斜边长度的平方。在研究正方形对角线长度时，比达格拉斯已经发现这个数无法精确表示。这已经很接近无理数的概念，可惜他放弃了，只好由两千多年后的德国数学家康托来完成无理数理论的基础。
几何学的一个里程碑是欧几里德的《几何原本》的出版。《几何原本》集当时几何学研究的大成，对希腊人所了解的几何学知识进行了条理化和系统化。《几何原本》首先定义了几何学中的概念和符号，使得几何学便于交流。同时，《几何原本》开创现代科学研究的公理化系统：基于有限的公理，一门学科中其他的定理都可以被推导出来。《几何原本》奠定了经典几何的基础，现在我们称之为欧氏几何。《几何原本》对人类科学发展的影响，是非常巨大的。作为经典的数学理论，统治了数学2000年。欧洲中世纪的文艺复兴，就是以研究和恢复《几何原本》开始的。
在欧几里德的《几何原本》之后，随着古希腊文明的衰落，几何学的发展被打断了。
本帖一共被 2 帖 引用 (帖内工具实现)家园 【原创】几何学的故事(4): 光线会拐弯：时空转换 – 相对论 几何学的故事(4): 光线会拐弯：时空转换 – 相对论
自己不是数学和物理专业的，写到这里，已经发现很吃力了。在查资料过程中，发现内容很多。我只选了一些自己感兴趣的。如果有高人，欢迎补充。
非欧几何的发现，改变了人们对空间的传统认识。欧氏几何不再是唯一的空间，而是有多种空间存在。这些不同空间的存在，导致了人们的进一步思索：我们到底生活在哪一类空间？更重要的问题是：是什么决定了空间的形状？
随着十八十九世纪物理学的发展，人们研究电磁波和光是如何传播、运动的？一种传输介质-以太- 在1678年被引入到物理学中。英国物理学家托马斯.扬让光线通过两个平行的窄缝，观察到了明暗交替的干涉图样，发现了光的波动性。这一事件似乎为以太理论提供了依据。1885年，迈克尔逊和莫雷要在实验中测量地球在以太中的运动速度。这是著名的迈克尔逊—莫雷实验。按照以太理论，两个人在实验中应该观察到光的干涉现象。然而，实验的结果并非他们所想象的 – 实验中没有干涉条纹移动。
爱因斯坦
外链图片需谨慎，可能会被源头改对于实验结果的解释，1905年,爱因斯坦发表了狭义相对论的奠基性论文《论运动物体的电动力学》。其中的几个要点是：没有绝对时间和空间，时间和空间是相对的；运动的物体在他们运动的方向上看起来是收缩的，相对于速度快的物体，时间会慢一些，（钟表慢走和尺子缩短）；以太不存在；质量和能量可以互相转化。狭义相对论发表后，并没有多少人注意，可能的原因是很多人不懂。
在狭义相对论发表时，当时物理界只发现了万有引力和电磁力两种力。狭义相对论可以和电磁力相容。爱因斯坦想将狭义相对论和万有引力统一起来。在狭义相对论发表后十年，爱因斯坦发表了《引力场方程》- 广义相对论。爱因斯坦在广义相对论中引入了两个原理：
等效原理：引力和惯性力是完全等效的。
广义相对性原理：物理定律的形式在一切参考系都是不变的。
广义相对论的方程，反映了空间中的物质分布与4维时空的度量之间的关系。根据广义相对论，可以预测光线在引力场中，会如何弯曲，及弯曲多少。
在1919年5月29日的日食期间，两支英国考察队对光线的运动进行了观察。英国物理学家爱丁顿（1882-1944）领导的考察队前往巴西的索布拉尔，并取得了成功。他们的观察到远处的星光会被太阳的引力场弯曲。从此，爱因斯坦就成了神。
一些参考文献：
家园 google 了一下，竟然发现有这本书的电子版 [美]列昂纳多·姆洛迪诺夫 著
沈以淡 王季华 沈佳 译
拿来与大家分享
家园 西西河里的老贴：与数学、几何相关的 几何学的故事写到这里，发现后面的部分与物理相关，自己不是很理解。就到河里来补课，看看以前的老贴都有什么。没想到，还真找出不少东西，贴出来与大家分享。
家园 【原创】几何学的故事(3): 直线不直：非欧几何，微分几何 几何学的故事(3): 直线不直：非欧几何，微分几何
在 欧氏几何的公理中，第五公理（平行公理）显得比其他四个要复杂。历史上，有很多学者对这一公理提出了质疑，并试图通过其他四个公理来证明平行公理。由于各种原因，大家的尝试都没有成功，比如引入其他公理，后来发现新引入的公理和平行公理等价。
十八世纪末十九世纪初，三位学者（高斯、波约伊和罗巴契夫斯基）各自对平行公理进行了研究，进而引入了非欧几何。高斯画像
外链图片需谨慎，可能会被源头改其中一个故事是这样的，罗巴契夫斯基想用归谬法，推导出： 如果平行公理不存在，会导致其他欧氏几何的公理或定理之间的矛盾。但是，随着他研究的进行，他并没有发现他预期的矛盾。而且他发现，没有平行公理的系统，自成体系，这就是非欧几何。在高斯、波约伊和罗巴契夫斯基发现的非欧几何中，平行公理被一个假设替代：对于任何直线，通过任何直线外一点，可以有多条平行线，而不是欧氏几何里的唯一一条平行线。这个空间是双曲空间，几个著名的结论是：三角形内角之和不是180°、相似三角形不存在、直线不直。
另一种非欧几何中，椭圆空间 - 平行公理被一个新的公理所替代：没有平行线存在（在平面上，所有直线必相交）。
在德国面积的勘察活动中，高斯需要将三维数据用二维地图来表达。这个问题的解决，产生了微分几何。微分几何是曲面的理论，认为一个曲面本身就是一个空间。高斯认为，一个给定空间的弯曲程度，可以只在曲面本身上加以研究，而与其他可能包含它或不包含它的较大空间无关。这个概念，被证明是爱因斯坦广义相对论所必须使用的。可以说，这个概念为物理学以后的发展打下了基础。
在高斯研究的基础上，庞加莱、黎曼和希尔伯特进一步发展了非欧几何。
家园 有个疑惑请教 非欧几何所说的曲面，究竟是空间本身的扭曲，还是在平直空间中的曲面，比如三维空间中的一个球面？或者说，非欧几何中的曲面和欧氏几何中的平面一样，仅仅是作为推论的起点？
- 复 有个疑惑请教
家园 试着回答 曲面，应该理解为空间本身的扭曲。比如说一个蚂蚁生活在一个足球上，因为它不能够上下运动，因此可以假想它没有上下概念，从而生活在一个二维世界。假设它学过几何学，它仍然能够知道它生活在一个球面上而不是生活在一个轮胎上（最好的办法就是数足球上一个个多边形的点、线、面的个数，点减去线加上面一定是2，而对于轮胎，这个数是0，这就是中学学过的所谓欧拉示性数）。再比如一个人患有某种颈椎病，只能够左右转动而不能上下转动脖子，因此他的世界是二维的，但是通过计算欧拉示性数的办法他仍然能够知道我们所生活的地球是球面而不是轮胎面（两者的弯曲是不同的），这跟地球所在的宇宙无关，不管这个宇宙本身形状如何。
- 复 有个疑惑请教
家园 送花! 老大的问题有深度呀。继续找资料。
根据这里的解释，
http://www.ikepu.com/maths/maths_branch/non_euclid_geometry_total.htm
在非欧几何的公理中，并没有假设空间是曲面或是扭曲的。而非欧几何的解释，发现在扭曲的空间是合适的，而在我们通常的欧式几何空间中，很难观察到这些的结果。
非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲 ，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。
在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。
家园 几何学的故事(1) - 古希腊的成就：欧氏几何(补充) 欧氏几何的公理
公理一：给定两点，有一条以两点为端点的直线段
公理二：任何一个线段，可以向两端无限地延伸
公理三：以任何一个点为中心，可以画一个半径为任意长的圆
公理四：所有直角都相等
公理五：两条直线和第三条直线相交，如果同旁内角和比两个直角小，那么，这两条直线在第三条支线的这一边延长时，一定会相交。
古希腊的三大几何学难题
1。将一个角三等分（直尺和圆规作图）
2。画出与圆的面积相等的正方形
3。以相同的形状使体积增加为原来的两倍（立方体体积问题，也成为“提洛斯问题”）
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)家园 欧氏几何公理体系的毛病不在多了一个平行公理，而在于少了许多公理 如果较真的话，单从这五个公设加五个公理，基本上什么有意义的命题都推不出。而这五个公设本身的叙述也成问题：有很多概念没有定义过也没有通过公理确定其性质，比如端点、无限、延伸、中心、半径、任意、长、角的大小比较、角的和、同旁……。在非欧几何出现以前几何学家们已经注意到这些缺陷并加以完善（添加了大量的公理）。
家园 送花! 资料显示，《几何原本》的欧氏几何有23个定义，5个公设和5个公理。更多的，我就不知道了。欢迎补充。
- 复 送花!
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