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主题：几何学的故事(1) - 古希腊的成就：欧氏几何 -- earthcolor
在日常生活中，我们可以接触到各种物体，看到各种形状：三角形、方形、圆和直线。现在连小孩子都知道这些概念。这些都是几何学的研究内容，但在生活中，我们不一定会把这些和几何学联系起来，因为几何已经进入了我们的潜意识，我们都认为这些是当然的。而对这些几何概念的科学思考，带来了一次次的几何学的革命。
古希腊的成就：欧氏几何
最初的几何概念，来源于生活。自从人类有了意识，人类所接触的物体，都为我们提供了这些概念的来源。尤其是古代的经济活动，包括土地的丈量（用来决定税收，古代是根据土地的大小来纳税的），各类房屋的建造，各类物品工具的制造，使得人们有了几何概念的基本雏形。对于几何概念的科学，可以追溯到古希腊文明。泰勒斯，比达格拉斯的老师，被誉为世界上第一个科学家和数学家，对当时从经验得来的事实进行了理论解释，朝几何学的系统化迈出了第一步。他研究了图形全等、图形相似的概念，将实际的经验概括为抽象的原理，使得原来的经验，可以有更广阔的应用。他还提出了一个逻辑推理系统。而物理空间的提出，成为以后几何研究的一个重要内容。
比达格拉斯，研究了平方数、三角形数。更重要的一个发现是比达格拉斯定理，也就是中国古代的勾股定理：直角三角形的两个直边长度的平方和，等于斜边长度的平方。在研究正方形对角线长度时，比达格拉斯已经发现这个数无法精确表示。这已经很接近无理数的概念，可惜他放弃了，只好由两千多年后的德国数学家康托来完成无理数理论的基础。
几何学的一个里程碑是欧几里德的《几何原本》的出版。《几何原本》集当时几何学研究的大成，对希腊人所了解的几何学知识进行了条理化和系统化。《几何原本》首先定义了几何学中的概念和符号，使得几何学便于交流。同时，《几何原本》开创现代科学研究的公理化系统：基于有限的公理，一门学科中其他的定理都可以被推导出来。《几何原本》奠定了经典几何的基础，现在我们称之为欧氏几何。《几何原本》对人类科学发展的影响，是非常巨大的。作为经典的数学理论，统治了数学2000年。欧洲中世纪的文艺复兴，就是以研究和恢复《几何原本》开始的。
在欧几里德的《几何原本》之后，随着古希腊文明的衰落，几何学的发展被打断了。
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几何学的数字革命：解析几何
在现代的生活中，人们已经习惯了用经纬度来表示地理上的位置。而在作为地理测量的经典欧氏几何中，是没有数字概念的。中世纪人类对地球、海洋的探索，要求人们以更高的精度来定义地球上的不同位置和他们之间的距离，人类的生产生活过程，要求人们将数字和图形结合起来。而代数学的发展，为这种结合提供了可能。（古希腊的几何没有发展到解析几何，应该有代数学不发达的原因。）
笛卡尔，一代伟大的哲学家和数学家，为解析几何的发展奠定了基础.
笛卡尔在研究几何时，发现很多几何图形都可以用代数公氏来表达。他提出了坐标系思想，并付诸于实际应用。这样，很多几何图形的定义改变了。比如：
圆，在欧氏几何里定义为：在平面上，与一个点等距离的所有点的组成的曲线。
在解析几何里定义为：所有坐标（x,y）符合x平方加y平方的和等于一个常数的点的集合。而几何定理的证明，可以通过代数方法来进行。笛卡尔的《方法论》中的《几何学》的出版，标志着解析几何作为一门学科的正式成立。
本人能力有限，就写自己知道的吧。不足的地方，请大家来补充！
欧氏几何的公理
公理一：给定两点，有一条以两点为端点的直线段
公理二：任何一个线段，可以向两端无限地延伸
公理三：以任何一个点为中心，可以画一个半径为任意长的圆
公理四：所有直角都相等
公理五：两条直线和第三条直线相交，如果同旁内角和比两个直角小，那么，这两条直线在第三条支线的这一边延长时，一定会相交。
古希腊的三大几何学难题
1。将一个角三等分（直尺和圆规作图）
2。画出与圆的面积相等的正方形
3。以相同的形状使体积增加为原来的两倍（立方体体积问题，也成为“提洛斯问题”）
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几何学的故事(3): 直线不直：非欧几何，微分几何
在 欧氏几何的公理中，第五公理（平行公理）显得比其他四个要复杂。历史上，有很多学者对这一公理提出了质疑，并试图通过其他四个公理来证明平行公理。由于各种原因，大家的尝试都没有成功，比如引入其他公理，后来发现新引入的公理和平行公理等价。
十八世纪末十九世纪初，三位学者（高斯、波约伊和罗巴契夫斯基）各自对平行公理进行了研究，进而引入了非欧几何。高斯画像
其中一个故事是这样的，罗巴契夫斯基想用归谬法，推导出： 如果平行公理不存在，会导致其他欧氏几何的公理或定理之间的矛盾。但是，随着他研究的进行，他并没有发现他预期的矛盾。而且他发现，没有平行公理的系统，自成体系，这就是非欧几何。在高斯、波约伊和罗巴契夫斯基发现的非欧几何中，平行公理被一个假设替代：对于任何直线，通过任何直线外一点，可以有多条平行线，而不是欧氏几何里的唯一一条平行线。这个空间是双曲空间，几个著名的结论是：三角形内角之和不是180°、相似三角形不存在、直线不直。
另一种非欧几何中，椭圆空间 - 平行公理被一个新的公理所替代：没有平行线存在（在平面上，所有直线必相交）。
在德国面积的勘察活动中，高斯需要将三维数据用二维地图来表达。这个问题的解决，产生了微分几何。微分几何是曲面的理论，认为一个曲面本身就是一个空间。高斯认为，一个给定空间的弯曲程度，可以只在曲面本身上加以研究，而与其他可能包含它或不包含它的较大空间无关。这个概念，被证明是爱因斯坦广义相对论所必须使用的。可以说，这个概念为物理学以后的发展打下了基础。
在高斯研究的基础上，庞加莱、黎曼和希尔伯特进一步发展了非欧几何。
几何学的故事写到这里，发现后面的部分与物理相关，自己不是很理解。就到河里来补课，看看以前的老贴都有什么。没想到，还真找出不少东西，贴出来与大家分享。
也认识到自己能力有限，只能知道什么写什么。不足的地方，请大家指正。
蜜饯:【文摘】总是数学考不及格的数学家――－记代数几何学家厄尔米特
[美]列昂纳多·姆洛迪诺夫 著
沈以淡 王季华 沈佳 译
拿来与大家分享
如果较真的话，单从这五个公设加五个公理，基本上什么有意义的命题都推不出。而这五个公设本身的叙述也成问题：有很多概念没有定义过也没有通过公理确定其性质，比如端点、无限、延伸、中心、半径、任意、长、角的大小比较、角的和、同旁……。在非欧几何出现以前几何学家们已经注意到这些缺陷并加以完善（添加了大量的公理）。