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主题：区分文科生和理科生的一个判据 -- 汽车零部件
家园 区分文科生和理科生的一个判据 786个号码中随机抽取203个，有多大机会最终出现一个或一个以上五连号？如何看待这个新闻？
家园 好像概率不小 我先是这样做的：
786中选5个连号，有782种选法。
把5个连号看作一个号码，这样有782个号码。
在782个号码中选199个，共有【 782！/199！*（782－199）！】⑴种可能。
乘以上面的782种选法，就是【 782！*782/199！*（782－199）！】⑵
786中选203个，则是【786！/203！*（786－203）！】⑶
用⑵/⑶，不是很小的。居然差不多0.8。囧囧囧囧囧囧囧囧囧
错在，⑴中有很多重复情况：比如12345看作一个号码来选，还可能选出11、12、13、14、15。这与把11、12、13、14、15看作一个号码来选出12345重复了。
可这重复俺实在是算不出来了，只是感觉这重复的可能不会太大，估计是十几倍顶天了，也就是说，概率大概不会低于1/20。
俺大学概率论刚刚及格，现在也快忘光了。
楼主计算是多少？
家园 我看抽五连号的几率相当大，不可能是无限接近于零 文里那位数学博士和数学老师可能是按只抽五次抽出五连号了，786个号码中随机抽取203个接近四分之一，里面二连号、三连号肯定相当多。
设里面任意五连号，第一次抽到任意号A，第二次抽到A前后四号之内（算是B）的概率是8／785，第三抽到在AB近处的三个号是3／784，第四次是2／783，第五次是1／782。这样在头五次内抽出五连号的概率大约是79亿次分之一。但问题是不光抽五次，要抽203次，这个概率不会是简单地再乘以5／203，俺不会算了，感觉是概率相当高。
家园 我觉得这题不是个概率题 是瞎猫碰死耗子。从道理上来讲，如果是随机的抽取，任何一组号码的可能性都是1/C(786,203)，只不过5连号比较显眼，人能一眼看出规律来罢了。
家园 诶诶，这个帖子变成科普贴了 收藏一下，坐等理科生来科普轮道顺带看楼主是文科生还是理科生。
家园 试着算一下 这个摇号，203中，（786-203）=583不中。可把583不中看做柱子排成一排，203中往柱子缝隙插（队头队尾也算）。如果是不受限的插，那么每个缝隙应当最多可插203个号。则共有组合：
A=(584*203,203)
即584*203中取203，这是所有可能摇号的组合，包括203连号和无一连号。现在限制最多4连号，那么相当于柱子之间只有4个空隙，则组合数为：
B=(584*4,203)
那么摇号出现至少一个5或以上连号的概率为：
1-B/A
因为数字都非常大不好算，但我可以肯定的是这个概率非常接近1，而不是接近0。所以，除非我的推理错了，否则现有现象不能证明这个摇号有问题。
注：大概估算了一下B/A大约在10的-400次方附近。这实在太小了，可能我的推理有问题。
注2：想了一宿发现确实错得离谱，所以还得再做
这个概率模型确实麻烦，所以先做了个蒙特卡洛。下面是结果：
总数：1500000
连号 计数 单项概率 累计概率
10+ 994 0.000663 0.000663
9 2974 0.00198 0.00265
8 11665 0.00778 0.0104
7 45278 0.0302 0.0406
6 167001 0.111 0.152
5 498851 0.333 0.485
4 676979 0.451 0.936
3 96250 0.0642 1
2 8 5.33e-06 1
1 0 0 1
用的是MT19937 RNG，RDTSC 初值。150万次模拟下来基本稳定。其中“单项概率”是出现正好这么多连号的概率，累计概率是出现不低于这个连号数的概率。结论是：出现5或以上连号的概率是0.485，出现5连号的概率是0.333。数学上如何建模还要再考虑。
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)- 复 试着算一下
家园 我的算法跟你不太一样 假设每个数字被抽到的概率一样，并假设是一次同时抽出203个
5连号一共有786－4＝782种
假设对一种5连号而言，那么等于在这种条件下再在剩下的781个号码中抽取198个，共有C 781 198 ＝ 3.5633E+190种可能， 那么对于所有的5连号就有 782＊C 781 198种组合中至少包括1个5连号
而在总体786个数字中随机抽出203个的组合有C 786 203＝ 3.2174E+193 种组合
那么抽出至少一种5连号的概率是0.866077008
但这种算法是高估的。网易上有个网友给出了精确的解
抄袭如下：
分母：786中选取203进行组合combin(786,203)
分子：1至786共有782个5连号，分为两种情况（1）1-5和 782-786，这种情况下，对应6和781不可选，可选的数字共有780个（2）剩下780个五连号，左右2个都不可选，可选数字779个。共有 2*combin(780,198)+780*combin(779,198)
概率：（2*combin(780,198)+780*combin(779,198)）/combin(786,203)=48.3%
武汉那次6连号是5400多个里面选出来的，概率差得太远。能把这两件事情放在一起相提并论，说明记者是文科生
家园 网友那个做法是错的 例如抽号为1-5, 782-786，中间不论的话，这个在他的分子计算中至少被算作了两次。
家园 后面的那个所谓精确做法是没有根据的 可以简单归缪如下：
在他的推导中五连号的“五”没有特别意义，因此按他的办法，786选203出现k连号或以上的概率为
(2*combin(785-k,203-k)+(785-k)*combin(784-k,203-k))/combin(786,203)
取k=4，得四连号及以上的概率为1.895
家园 你们算的俺看不懂，你这个更不懂。 得四连号及以上的概率为1.895概率超过1？另问：这个combin是什么意思？在这里怎么算？
家园 他这个5的数倒是和蒙特卡洛对上了 但是推广好像有问题。不知道是哪里出了错误。
家园 他那个就是纯粹蒙的，比蒙特卡洛还要蒙 严格的结果是：m个号码随机抽取n个，出现k个或以上连号的概率为Σ(-1)^i*C(m-n+1,i+1)*C(m-i*k-k,n-i*k-k)/C(m,n)，求和对所有可能的i>=0进行。
取m=786，n=203，
k=3， p=0.9999960517309451....
k=4， p=0.9369895037693703....
k=5， p=0.4867202655497829....
k=6， p=0.1527331410687272....
k=7， p=0.0407103486326307....
k=8， p=0.0103776629815789....
也就是说，如果没有出现三连号，基本上可以肯定有作弊行为；如果没有出现四连号，非常有可能是有作弊行为。
取m=36，n=7，
k=3， p=0.145495514921511....
k=4， p=0.017825311942959....
36选7的彩票有七分之一以上的机会出现三连号。
家园 不同之处在于 我算的是出现至少1个5连号及更极端的6、7甚至203连号加在一起的概率
而他算的是包括所有特定5连号的概率，不太一样。