主题：请教：这个赌徒有超能力吗？ -- 达雅

防疫期间，遇到一个统计问题，特请教于各位河友。

设有棋手A、B下围棋，从历史数据看，A的胜率是25%。

假定对局结果是独立同分布的，且与其他条件无关。

隔壁科学家和赌徒通过摄像头看直播。

赌徒吹牛说自己有超能力能预知胜负，科学家轻蔑地表示不可能。

赌徒说，那照你们科学家的规则来，置信度95%。我每一局开始

前把谁赢写黑板上。科学家同意。

第一局，赌徒写A，A赢了。

第二局，赌徒写A，A赢了。

第三局，赌徒写B，B赢了。

赌徒说：好了，

0.25*0.25*0.75=0.0469<0.05；

置信度95%，你该承认我有超能力了吧？

请问：1，按照规则，科学家是不是该承认赌徒有超能力？

2，如果赌徒一开始说：“我有超能力，以超过80%的准确率预测胜负”，

然后五局预测 AABBB，实际结果 AABAB，那这个假设检验问题该

怎么规范描述？

谢谢大家。

统一回复一下。也许大家习惯了大样本，

但大样本的代价很多时候是无法承受的。

另一方面，用小样本确认超能力大家可能

觉得不合常规，但是如果用小样本否认超

能力则是一点毛病都没有。例如，如果赌徒

第一局写B但是棋手A赢了，那我们立即可以

确认他没有超能力。这是一件很有意思的事。

我不是搞概率统计的。确实是来求教，

不是来卖弄的。

类似于fisher的女士品茶能力检验。按规则应该认可超能力。

用幸存者反推，他们也都有超能力

试着说说我的理解。

我觉得第二题难点在设计猜几次比赛上。精确检验是直接计算事件的发生概率，比较显著水平。因为猜对80%以上的事件组合有很多种。假定随机乱猜5次，80%以上正确的概率为15%。他一次试验猜中80%，也没办法证明自己有超能力，因为显著性水平一般不会设置大于15%。所以，得根据常用的5%显著水平，预先计算随机猜5次，猜6次，或7次猜中80%以上的概率，保证的这个概率小于5%。这个算准了，实验设计就ok了。

这个时候，假设检验的原假设就是：某人不具有80%以上预测精确度的超能力。备择假设：具有这个能力。换言之，80%以上的预测能力是超能力的一个定义。检验是否成功依赖于设计的要猜的比赛次数，要保证在这个次数下乱猜猜中80%以上的概率小于5%。

谢谢！

我又想了想，可能我们都被语言欺骗了。

对于问题1，我们都选择“赌徒A不具有超能力”作为原假设，这个假设等价于“赌徒A全蒙”，等价于“赌徒A超能力为0”。

而对于问题二，看起来赌徒说“我超能力只有80%”，弱于问题1，但是其问题得原假设却是“赌徒A超能力<80%”，对赌徒超能力得评价显著上升了！

于是，在否定掉问题1的原假设之后，我们有结论说“赌徒有超能力”，但是这个“有”并不意味着100%，可能也就1%的超能力+99%的蒙。但是我们一旦否定掉问题2的原假设，那赌徒至少有80%的超能力，这是一个很牛的结果啊！

首先，这个试验的propotion是已知的，A获胜事件的出现概率是p=0.25。

在这个信息已知的前提下，一个普通人猜对的概率是多少？是0.75。因为让你对每一局比赛做预测，你能给出的负责任的预测是A输B赢。所以普通人做一次预测的准确率mean在0.75，variance在0.25x0.75=0.1875。

现在增大sample size，当sample size为5时，普通人预测的准确率sample mean在0.75，SE在sqrt(0.25x0.75/5) = 0.19。

所以，一次试验观察到了某对象0.8的准确率并不能证明他不是一个普通人。

普通人一定猜大概率B，而且永远猜大概率B，那么当赌徒写下第一个A的时候他就证明了自己不是普通人啊。