主题：【原创】闲谈科学之正多面体 -- 安德的游戏

球能看作无穷多面正多面体吗？

估计安老师会讲的，我就不在课上乱插嘴了。

正四面体是最简单的正多面体，用四个等边三角形拼成，四面六棱四个顶点。看起来有点象个金字塔，不过立起来只有三边。金刚石就是正四面体的晶体，位于正四面体中心的碳原子和位于四个顶点的其他四个碳原子形成共价键。不过为了美观的需要，金刚石没有切割成正四面体的。

正六面体最常见，就是简单的立方体。每一面是正方形，共有六面十二条棱八个顶点。形状大家都很熟悉。最常见的正六面体晶体是食盐晶体。

正八面体是由八个等边三角形拼成的，八面十二条棱六个顶点。在生活中不如正六面体常见，不过大家也许见过缠丝线的装饰的吊坠是这个形状的。正八面体的晶体有明矾。

正十二面体是由十二个正五边形拼成的，十二面三十条棱二十个顶点。一个正十二面体的物体，正好在每一面印上一个月的月历组成一年的年历。不知道有人见过这样特殊的年历没有？自然界没有正十二面体的矿物晶体，不过有些病毒的蛋白质外壳是正十二面体的。另外人工合成的物质正十二面烷C20H20是这个形状的。为啥要特别提到这个正十二面烷咱们后面再说。另外，正十二面体虽然不是面数最多的，但却是最接近球形的。

最后一个是正二十面体，是由二十个等边三角形拼成的，二十面三十条棱十二个顶点。自然界也没有正二十面体的矿物。虽然正二十面体不如正十二面体接近球形，不过如果把每一个顶点切掉，看起来就完美多了：

现在先来补一下五种正多面体的证明。不喜欢数学的可以跳过前面有公式的段落，从后面接着看。

首先呢，要告诉大家一个伟大的公式，叫做欧拉公式。如果一个简单多面体，面数，棱数和顶点数分别记成F，E和V，那么就有V+F-E=2。让我们拿立方体来验证一下，V=8，F=6，E=12，正好8+6-12=2。这个公式是怎么得到的呢？我不太会画图，所以图就省略了，咱们干说。有空间想象能力缺陷的人就先跳过去吧。

我们先说什么叫简单多面体。所谓的简单多面体，就是说如果这个多面体的各个面都是橡皮做的，可以任意延展，那么把它吹鼓，如果变成球的，就都是简单多面体。如果吹成个轮胎，或者其他奇怪的形状的，就不是了。于是，所有的简单多面体就有了一个性质：如果去掉一个面，那么把剩余的部分延展开，都可以贴到一个平面上。这个贴到平面上的东西，棱数和顶点数都不变，只是面数比原来的多面体少了1。我们现在计算这个图形的V+F-E。对于每一个面，如果不是三角形的，就从任意两个不相邻的顶点连一条线，这样，多出来一条棱和一个面，V+F-E不变，这样一直切割到所有的面都是三角形为止。对于只有一条边在最外侧的三角形来说，去掉这一条边，相当于减少一条棱和一个面，这样V+F-E不变。对于有两条边在最外侧的三角形来说，去掉这两条边相当于去掉两条棱，一个面和一个顶点，这样V+F-E也不变。这样一直去到只剩一个三角形为止。这时候又三条棱，三个顶点和一个面，V+F-E=3+1-3=1，所以最初的图形也满足V+F-E=1。再算上一开始去掉的面，那么多面体就满足V+F-E=2。

好，现在我们从欧拉公式出发。如果每一面是正m边形，那么F个面就有mF个边，因为每两条边合成一条棱，所以E=mF/2，而F个面共有mF个顶点，如果每个顶点有n个面或者n条棱，那么就有V=mF/n。带入欧拉公式，有mF/n+F-mF/2=2，或者F=4n/[4-(m-2)(n-2)]。因为要满足F>0（正多面体总不能没有面吧），还要满足m>2（费话，正两边形谁见过）和n>2（这也是费话，两个面合在一起的那叫棱，不叫顶点），所以正整数解就只有以下几种组合：

(m,n)={(3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3)}，相应带入得到的F也就只有4，8，20，6和12。

有趣的是，m和n的值互换以后，得到多面体的顶点数和面数也互换，而棱数保持不变，这样的一对多面体叫对偶多面体。这六面体和正八面体是对偶多面体，正十二面体和正二十面体是对偶多面体，而正四面体由于m=n，所以对偶多面体是自己。

好了，这个证明是够让人发晕的。其实呢，简单想一想也能推出来，只是不那么严格。只要会拼地砖的就能理解。

我们先从一个面的可能组合说起。直观地看，边数越多，正多边形的顶角越大。拼一个角至少要三块砖，两块的那不叫角，那叫缝。大于六边形的，每个角大于120度，所以不可能严密地拼合。那个说能用八角形拼的，上次装修完了有人投诉厕所漏水，是不是你干的？这个月工资没了。所以能用地正多边形也就三角，正方，正五边形和正六边形。再接着说，如果拼出来各角和正好是360度，就拼成了一个平面，一直拼下去，就会无限延展出去，变成一个无限平面，不是一个闭合的多面体了。那儿有人插嘴，说复平面在无穷远外交于一点，是一个无穷大的球，也是闭合的。对了，还有一个叫夏翁的，说

好啦，所以用三角形拼，每个顶点最少拼三块，最多拼五块。用正方形拼，只能拼三块。用正五边形拼，也只能拼三块。正六边形就不能拼了。这样算起来，正好是五种。怎么样，这么说够直观了吧？

晶体的空间构型是有数的，是可以从数学上证明的。

-------大学教结晶化学的老师这么说过。

问题太傻，del

而正十二面体的病毒没有听说过

这一节，我们来说一说正多边形与合成化学。前面说了正十二面烷是人工合成的。基于正多面体的完美性，化学家也开始想办法合成正多面体的物质。虽然已经有一些分子是正多面体，但化学家真正有兴趣的，是合成出只包含碳和氢两种原子的饱和分子。这种分子不带电，而且能够稳定存在，而最吸引人的是形体的完美性。为什么化学家要孜孜不倦地寻找合成这样物质的方法？也许和那个为找到根号二比值被淹死的希帕索斯的理由一样，说好听的是对美的探索，说不好听的就是闲得无聊。

正多面体的烷烃，在每一个顶点上各有一个碳原子，而棱就是碳原子间的共价键。因为碳是四价的，而碳和氢原子间要占去一个共价键，所以碳之间最多有三条连接，或者说只能有每个顶点三条棱的正多面体可以构成烷烃，这就是正四面体，正六面体和正十二面体。

正六面体的立方烷(CH)8早在1964年就合成成功，而且出乎化学家们预料的是，立方烷比原先想象的要稳定得多。正四面体的四角烷目前还没有合成出来，不过已经合成出类似的分子。四个角上的氢原子用丁烷基-C(CH3)3代替，可以增加分子的稳定性。

而正十二面烷(CH)20到1982年合成成功为止，经过了二十年的努力。从一开始尝试的拼合两个半球，到后来尝试把半球形的碗越做越深再加一个盖子。最后成功的尝试是从一开始具有二十个碳原子的球形分子入手调整键的构成和去掉不需要的枝枝桠桠。

其实合成正多面体烷并不是纯粹出去无聊。虽然正十二面烷仅合成了两毫克，花费的财力跟得到的成品比起来使得即使它有什么有用的性质，也离实用相去甚远，但是在合成过程中进行的科学探索和积累下来的对于合成方法和工具的创新却是无价的。

另外，补充两点。第一点是正多面体的病毒，正十二面体和正二十面体的都有。前者比如说是Pariacoto virus，到底是什么我不会翻译。后者比如说疱疹科病毒，另外令人谈而色变的艾滋病病毒也有类似正二十面体的构造。

第二点是关于足球烯，足球烯又叫富勒烯，有很多种，但最通常指的是由60个碳原子构成的足球状的分子团。虽然叫烯，可是不含氢，是由碳的单质构成的，是碳除了金刚石和石墨之外的第三种晶体形状。不过关于足球烯的讨论已经超出了正多面体的范畴，就不继续说下去了。

欧拉公式，俺中学搞数学竞赛看过一点，早忘光了，安德兄还能描述得这么清楚，非常让我怀疑是专业搞数学的。